Espacios vectoriales

¿Qué son los espacios vectoriales?

En álgebra lineal, un espacio vectorial es una estructura algebraica que cumple con ciertas propiedades y reglas. Es un conjunto de elementos llamados vectores, junto con dos operaciones, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, que satisfacen ciertos axiomas. Estos axiomas son:

Cerradura bajo la suma: La suma de dos vectores en el espacio vectorial produce otro vector en el mismo espacio.

Asociatividad de la suma: (u + v) + w = u + (v + w) para todos los vectores u, v, y w en el espacio vectorial.

Existencia de un vector cero: Existe un vector, denotado como 0, tal que u + 0 = u para todo vector u en el espacio vectorial.

Existencia de un inverso aditivo: Para cada vector u, hay un vector -u tal que u + (-u) = 0.

Cerradura bajo la multiplicación por escalares: Si c es un escalar y u es un vector, entonces cu es otro vector en el espacio vectorial.

Identidad multiplicativa: 1u = u, donde 1 es el elemento neutro multiplicativo.

Distributividad de la multiplicación por escalares respecto a la suma de vectores: c(u + v) = cu + cv para todos los escalares c y los vectores u, v en el espacio vectorial.

Estos axiomas garantizan que el espacio vectorial cumple con las propiedades

Axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial

1. Cerradura bajo la suma: Si $�$ y $�$ son vectores en el conjunto, entonces $�+�$ también debe pertenecer al conjunto.

2. Asociatividad de la suma: Para todo $�$, $�$, y $�$ en el conjunto, $(�+�)+�=�+(�+�)$.

3. Existencia de un vector cero: Debe haber un vector llamado vector cero, denotado como $0$, en el conjunto tal que $�+0=�$ para todo $�$ en el conjunto.

4. Existencia de un inverso aditivo: Para cada $�$ en el conjunto, debe existir un vector llamado inverso aditivo, denotado como $-�$, tal que $�+(-�)=0$.

5. Cerradura bajo la multiplicación por escalares: Si $�$ es un escalar y $�$ es un vector en el conjunto, entonces $��$ también debe pertenecer al conjunto.

6. Identidad multiplicativa: La multiplicación por el escalar $1$ no cambia el vector, es decir, $1�=�$ para todo $�$ en el conjunto.

7. Distributividad de la multiplicación por escalares respecto a la suma de vectores: Para todo $�$ y para todos los vectores $�$ y $�$ en el conjunto, $�(�+�)=��+��$.

8. Distributividad de la multiplicación por escalares respecto a la suma de escalares: Para todos los escalares $�$ y $�$ y para todo vector $�$ en el conjunto, $(�+�)�=��+��$.

¿Qué es un subespacio vectorial?

Un subespacio vectorial es un conjunto de vectores que forma un espacio vectorial en sí mismo, cumpliendo con las siguientes propiedades:

Contiene el vector cero: Debe contener el vector cero del espacio vectorial original.

Es cerrado bajo la suma: Si tomas dos vectores cualesquiera en el subespacio, su suma también debe estar en el subespacio.

Es cerrado bajo la multiplicación por escalares: Si tomas cualquier vector del subespacio y lo multiplicas por cualquier escalar, el resultado debe estar en el subespacio.

Propiedades para probar que un si un subconjunto de un espacio vectorial es un sub espacio

Para probar que un subconjunto $�$ de un espacio vectorial $�$ es un subespacio vectorial, es necesario verificar las siguientes propiedades:

1. Contiene el vector cero: El vector cero de $�$ debe pertenecer a $�$. Es decir, $\mathbf{0}\in �$.

2. Cerrado bajo la suma: Si $�$ y $�$ son vectores en $�$, entonces $�+�$ también debe estar en $�$.

3. Cerrado bajo la multiplicación por escalares: Si $�$ es un vector en $�$ y $�$ es un escalar, entonces $��$ también debe estar en $�$.

Estas propiedades aseguran que $�$ cumple con las condiciones necesarias para ser un subespacio vectorial de $�$. Es importante recordar que para verificar si un conjunto es un subespacio vectorial, debes demostrar todas estas propiedades. Si alguna de ellas no se cumple, el conjunto no es un subespacio vectorial.

Dimensiones y rango de un subespacio y qué es una base

1. Dimensión de un Subespacio:

   • La dimensión de un subespacio vectorial es el número máximo de vectores linealmente independientes que pertenecen a ese subespacio.
   • Si $�$ es un subespacio de un espacio vectorial $�$, la dimensión de $�$, denotada como $\text{dim}(�)$, es el número de vectores en cualquier base ordenada de $�$.

2. Rango de un Subespacio:

   • El rango de un subespacio vectorial es el número de vectores linealmente independientes en cualquier base de ese subespacio.
   • Si $�$ es un subespacio de $�$ y $\{{�}_1,{�}_2,\dots ,{�}_{�}\}$ es una base de $�$, entonces el rango de $�$, denotado como $\text{rango}(�)$, es igual a $�$.

3. Base de un Subespacio:

   • Una base de un subespacio vectorial $�$ es un conjunto ordenado de vectores linealmente independientes que generan $�$.
   • Una base proporciona la estructura fundamental para describir todos los vectores en el subespacio como combinaciones lineales de los vectores en la base.
   • Si $\{{�}_1,{�}_2,\dots ,{�}_{�}\}$ es una base de $�$, entonces cualquier vector $�$ en $�$ puede expresarse de manera única como $�={�}_1{�}_1+{�}_2{�}_2+\dots +{�}_{�}{�}_{�}$, donde ${�}_1,{�}_2,\dots ,{�}_{�}$ son escalares únicos.